שיעור 8: כדורים במשולש – מציאת מספר האיברים מהסכום

פרק 2 – סדרה חשבונית ברמת 3 יחידות (שאלות בגרות)

1נוסח השאלה

2סעיף א – השורה השישית

3סעיף ב – 8 השורות הראשונות

4סעיף ג – כמה שורות ל־144 כדורים

📄 נוסח השאלה

על שולחן מסדרים כדורים בשורות היוצרות משולש. כמות הכדורים בכל שורה יוצרת סדרה חשבונית: בשורה הראשונה – כדור אחד, בשורה השנייה – 3 כדורים, בשורה השלישית – 5 כדורים וכן הלאה.

א. כמה כדורים יהיו בשורה השישית במשולש זה?

ב. כמה כדורים סך הכול יהיו ב־8 השורות הראשונות של משולש זה?

ג. כמה שורות יהיו במשולש זה כאשר יסדרו בו 144 כדורים סך הכול?

סעיף א – השורה השישית

הסדרה: 1 , 3 , 5 , .... האיבר הראשון a₁ = 1, וההפרש:

d = 3 − 1 = 2

📐 הפרש הסדרה החשבונית

a₆ = 1 + 5 · 2 = 11

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

✅ פתרון סופי: 11 כדורים

📐 הפרש הסדרה החשבונית

d = a_{n + 1} − a_n

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d

סעיף ב – 8 השורות הראשונות

S₈ = 82 · [2 · 1 + 7 · 2]

📐 סכום בסדרה חשבונית

= 4 · [2 + 14] = 4 · 16 = 64

✅ פתרון סופי: 64 כדורים

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

סעיף ג – כמה שורות ל־144 כדורים

עכשיו הסכום ידוע (S_n = 144) ומספר השורות n לא ידוע. מציבים בנוסחת הסכום:

144 = n2 · [2 · 1 + (n − 1) · 2]

📐 סכום בסדרה חשבונית

פותחים את הסוגריים המרובעים:

2 + 2n − 2 = 2n

144 = n2 · 2n

144 = n²

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

סעיף ג – כמה שורות ל־144 כדורים · המשך

144 = n²

n = 12

(או n = −12, אבל מספר שורות חייב להיות חיובי, ולכן נפסל).

בדיקה: S₁₂ = 122 · [2 + 11 · 2] = 6 · 24 = 144 ✓

✅ פתרון סופי: 12 שורות

📌 סיכום התשובות

סעיף א

11 כדורים

סעיף ב

64 כדורים

סעיף ג

12 שורות

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא